משולשים

משולש - הגדרות וסוגים סימון קודקודים, צלעות וזויות
משולשים - סוגים, היקף ושטח
זויות במשולש
סוגי משולשים: ישר זוית, שווה שוקיים, שווה צלעות, חד זוית, קהה זוית, שונה צלעות


משפטים
אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזוית שמול הצלע הקטנה קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

משפט הפוך: אם זוית אחת גדולה מזוית שניה אז הצלע שמול הזוית הקטנה, קטנה מהצלע שמול הזוית הגדולה
סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע שלישית.
כל צלע במשולש גדולה מהפרש שתי הצלעות האחרות.
סכום הזויות במשולש 180 מעלות.

אם שתי זויות במשולש אחד שוות לשתי זויות במשולש השני אזי גם הזוית השלישית שווה בשני המשולשים
זווית חיצונית למשולש גדולה מכל אחת משתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

חפיפת משולשים:
משפט חפיפה ראשון (אקסיומה): אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
משפט חפיפה שני: אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן המשולשים חופפים.
משפט חפיפה שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות במשולש שני אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה רביעי: אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן המשולשים חופפים.

משפט חפיפה ז.ז.צ - אם במשולש אחד שתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן שווה לשתי זויות וצלע שאינה כלואה ביניהן במשולש שני אזי המשולשים חופפים
במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות.
במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות.

משולשים שווי שוקיים
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).
מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות

משולשים ישרי זווית
במשולש ישר זווית שזוויותיו החדות הן 30 ו- 60 מעלות, הניצב שמול הזוית 30 מעלות שווה למחצית היתר.
אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר אז הזווית שמול הניצב שווה 30 מעלות.
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
משולש שבו אחד התיכונים שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, הוא משולש ישר זווית.
הניצב במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר.
 אם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי שתי הצלעות האחרות על צלע זאת אז המשולש ישר זווית.
הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר

משפט פיתגורס - במשולש ישר זוית סכום ריבוע הניצבים שווה לריבוע היתר
משפט פיתגורס ההפוך - אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית אזי הזוית בין שתי הצלעות ישרה

קטע אמצעים במשולש
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה.
קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתהּ הוא קטע אמצעים.



  אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות והזווית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים.
אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות המשולשים דומים.
  אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים.
אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזוויות שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים.
  גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
  תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
  הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
  הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
  ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
  שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות.
  הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד דומה למשולש המקורי.
  הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה