בעיות בסיסיות בהסתברות - מרחב מדגם ומשתנים אקראיים

שאלה 1

יוצרים מילה בת 2 אותיות לא בהכרח בת משמעות מהאותיות E, F, G.
א. מהו מרחב המדגם
ב. רשום את המקרים למאורע:
A - במילה נמצאת האות E
B - במילה האותיות שונות
ג. רשום את המקרים למאורע Ā  (A משלים).

פתרון שאלה 1:

א. מרחב המדגם מסומן באות Ω והוא כל המילים האפשריות המורכבות משתי אותיות מתוך שלש האותיות E, F, G. המשתנה האקראי הוא התוצאות האפשריות במרחב המדגם.

Ω = { EF, EG, FE, FG, GE, GF, EE, FF, GG }

ב. מקרה A - במילה נמצאת האות E: 

A = { EF, EG, FE, GE, EE }

ב. מקרה B - במילה האותיות שונות:

B = { EF, EG, FE, FG, GE, GF }

ג. מאורע Ā הוא המקרים של מופעי שתי אותיות שנמצאות במרחב המדגם אך אינן מופיעות במאורע A, אלו הם המקרים בהן האות E אינה מופיעה:

 Ā = { FG, GF, FF, GG }

שאלה 2 - הטלת זוג קוביות

מטילים זוג קוביות.
א. רשום את מרחב המדגם של הניסוי. האם המרחב מדגם הוא אחיד?
ב. רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים:
מאורע A: סכום התוצאות 7
מאורע B: מכפלת התוצאות 12

פתרון שאלה 2

נסמן לדוגמה מאורע כאשר תוצאה בקובייה אחת 2 ובקובייה שניה 5 כך: (2,5)

א. מרחב המדגם של הניסוי (כל התוצאות האפשריות):
(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)

ההסתברות הנה אחידה (מרחב מדגם אחיד) משום שמספר התוצאות האפשריות סופי וההסתברות לכל תוצאה היא זהה (שווה ל- 1/36). לדוגמה ההסתברות לתוצאה (1,3) (בקוביה אחת תוצאה 1 ובקוביה שניה תוצאה 3) היא 1/36.

ב.
כל האפשרויות מאורע  A  - סכום התוצאות הוא 7:

(2, 5) , (5, 2) , (4, 3) , (3, 4), (1, 6) , (6, 1)

כל האפשרויות מאורע  B - מכפלת התוצאות היא 12:

(2 , 6) , (6 , 2) , (4 ,3 ) , (3 , 4)