חוק גאוס

חוק גאוס הוא אלטרנטיבה חוק קולון. חוק גאוס מספק דרך אחרת להביע את היחסים בין מטען חשמלי  לשדה החשמלי. חוק גאוס גובש על-ידי קרל פרידריך גאוס (1777-1855), אחד מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים.

חוק גאוס קובע כי השטף החשמלי הכולל דרך משטח סגור (משטח הכולא בתוכו נפח) פרופורציונאלי למטען החשמלי הכלוא בתוך המשטח. מקדם היחס הוא


שטף השדה החשמלי הכולל דרך משטח הוא סכום מכפלת רכיבי השדה החשמלי המאונכים למשטח (כתוצאה מהמטען הכלוא במשטח) ברכיבי המשטח המתאימים.


לדוגמא מטען כלוא במרכז כדור.

בכל נקודה על משטח הכדור גודל השדה החשמלי עקב המטען q הוא:


סכום מכפלת רכיבי השדה החשמלי המאונך למשטח הכדור ברכיבי השטח הוא השטף, והוא שווה למטען q הכלוא במשטח לחלק ב-:


כאשר מדובר במשטח סגור בעל צורה כלשהי אפשר להכליל את חוק גאוס:  




משטח A בעל צורה כלשהי ומטען q כלוא בתוכו
משטח A בעל צורה כלשהי ומטען q כלוא בתוכו




















דוגמא:

נתון תייל ישר אינסופי בעל צפיפות מטען חשמלי ליחידת אורך. מצא את השדה החשמלי E סביב התייל.

פתרון


בוחרים משטח גאוס גלילי באורך l ורדיוס r סביב התייל ע"פ הסקיצה לעיל. שטף השדה החשמלי הנוצר על המשטח כתוצאה מהתייל הטעון, מאונך למשטח ושווה על כל מקודה על המשטח משיקולי סימטריה.
ע"פ משפט גאוס:

 




במקרה שלפנינו השדה E אחיד על הגליל בעל מעטפת A לכן השטף הוא EA . השטף בבסיסי הגליל שווה 0 מאחר והשדה המאונך לבסיסים הוא 0. מעטפת הגליל A שווה ל:
המטען q הכלוא במשטח הגאוס הוא הכפלת הצפיפות באורך l : 

לכן:









אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה