מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

נתון:

מערכת צירים שציריה x,y ובה נקודות A(x1,y1) , B(x2,y2) .

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

צריך להוכיח:

המרחק d בין הנקודות A,B שווה:

 

השיטה

נבנה בניית עזר אנכים מהנקודות A,B לצירים, ייווצר משולש ABC ישר זווית שצלעותיו הפרשי קואורדינטת x וקואורדינטות y של הנקודות A,B. בעזרת משפט פיתגורס נחשב אורך d המרחק בין הנקודות A,B.

 

ב.ע

בונים אנכים מנקודות A,B לצירים x,y, נוצר משולש ישר זווית ABC (זווית C ישרה)

מרחק בין שתי נקודות במערכת צירים

הוכחה

זוית C ישרה - נוצרה מאנכים לצירים x,y שהם אנכים אחד לשני

1: AC = x2-x1 - קטע AC מקביל לציר x ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה x של נקודות A,B

2: BC = y2-y1 - קטע BC מקביל לציר y ולכן אורכו שווה להפרשי קואורדינטה y של נקודות C,B

ע"פ משפט פיתגורס במשולש ישר זוית ABC (סכום ריבועי הניצבים BC, AC שווה לריבוע היתר AB)

d² = AB² = BC² + AC²

- נובע מ- 1 ו- 2

ולכן:

דוגמא

מצא את המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3)

פתרון

נבחר את נקודה A כנקודה 1 ואת נקודה B כנקודה 2, אין מניעה לבחירה הפוכה התוצאה תהיה זהה.

נציב בנוסחה ונקבל:


המרחק בין הנקודות A(1,4) , B(-4,3) הוא

נציג את הנקודות A, B במערכת צירים ואת המרחק ביניהן:

מרחק בין שתי נקודות A(1,4) , B(-4,3) במערכת צירים