שאלה 4 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

שאלה 4 - גיאומטריה - ממבחן מפמ"ר לכיתה ט רמה רגילה - תשע"ד

מעוין שאחד מאלכסוני שווה לצלע

המרובע ABCD מעוין. E נקודת הפגישה של האלכסונים. נתון: ABD משולש שווה צלעות.
 EP || BC

הוכיחו:

א. הנקודה P היא אמצע הצלע AB

ב. 

ג. המרובע PADE טרפז שווה שוקיים.

פתרון

א. מתבוננים במשולש ABD. משולש ABD שווה צלעות (נתון). E היא אמצע הצלע BD מאחר ואלכסוני המעוין (BD ו- AC) חוצים זה את זה.
 PE מקביל ל- BC (נתון) אך גם מקביל ל- AD מאחר והמעוין (ABCD) הוא מקבילית שצלעותיה הנגדיות מקבילות.
מצאנו כי PE מקביל ל- AD ועובר דרך אמצע צלע BD במשולש ABD. מכאן ש- PE הוא קטע אמצעים במשולש ABD ולכן גם חוצה את צלע AB.

הוכחה

1: BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
2: EP || BC    - נתון
3: BC|| AD    -  צלעות נגדיות במעוין מקבילות
4. EP || AD  - נובע מ- 2,3
5. PE קטע אמצעים במשולש ABD  - נובע מ- 1,4 - קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת (BD) ומקביל לצלע השלישית (AD) חוצה את הצלע השנייה (AB)
6: AP = BP - נובע מ- 5

מ.ש.ל


ב. נדרש להוכיח דמיון משולשים ABD, PBE. נוכיח כי צלעות משולש PBE שוות באורכן למחצית צלעות ABD.

הוכחה:
1: BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
2. BE = BD/2 - נובע מ- 1
3. AP = BP - הוכח ב- 6 סעיף קודם (א)
4. BP = AB/2 - נובע מ- 3
5.  PE קטע אמצעים במשולש ABD - הוכח ב- 5 סעיף קודם.
6. PE = AD/2 - קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה
7.        - נובע מ- 2,4,6 - אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים - יחס הדימיון הוא 2.
מ.ש.ל

ג. נדרש להוכיח כי המרובע PADE טרפז שווה שוקיים. נוכיח שיוויון שוקי הטרפז.

הוכחה
1. AB = BD - משולש ABD שווה צלעות - נתון
2. BE = DE   - אלכסוני המעוין (ABCD) חוצים זה את זה
3. AP = BP - הוכח ב- 6 סעיף א
4. AP = DE - נובע מ- 1,2,3 - מחצית גדלים שווים, שווים זה לזה
5. PE קטע אמצעים במשולש ABD  - הוכח ב- 5 סעיף א
6. PE||AD - קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות במשולש ומקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה
7.  מרובע PADE טרפז שווה שוקיים - נובע מ- 4,6
מ.ש.ל