תרגיל
נתונה פרבולה שמשוואתה y = (m-1)x² - (2m - 2)x +9 - m
א. עבור אילו ערכים של m הפרבולה אינה עוברת מתחת לציר ה- x?
ב. עבור אילו ערכים של m קדקוד הפרבולה נמצא מעל הישר y = 4, כאשר לפרבולה יש מקסימום?
הערה: פתרון סעיף ב אינו תלוי בפתרון סעיף א.
פתרון
סעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י : y = ax² + bx +c .
צורתה של הפונקציה היא פרבולה.
סעיף ב
כאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.
על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a >0.
בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את ציר x או תשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.
כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²- 4ab ≤ 0
ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²- (2m – 2)x + 9- m
נציב:
עבור התנאי a > 0:
m – 1 >0
(2m -2)2 -4(m-1)(9-m) ≤ 0
m > 1
עבור התנאי
b²- 4ab ≤ 0
b²- 4ab ≤ 0
4m2 – 8m +4 -4(-m2 +10m -9) ≤ 0
4m2 – 8m +4 + 4m2 -40m +36 ≤ 0
8m2 – 48m + 40 ≤ 0
m2 – 6m + 5 ≤ 0
(m – 1)(m – 5) ≤ 0
מתקבלים האי שוויונים:
1 ≤ m ≤ 5
m > 1
החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א):
1 ≤ m ≤ 5
סעיף ב
נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax2 + bx +c שקדקודה מעל הישר y= 4
פרבולה עם נקודת מקסימום (ברביע הרביעי) |
נבדוק עבור אילו ערכים של m לפרבולה y = (m-1)x² - (2m - 2)x +9 - m , נקודת מקסימום מעל הישר y=4.
דרוש:
a<0 - פרבולה עם נקודת מקסימום.
c - b^2/4a > 4 - קדקוד הפרבולה מעל הישר y =4.
נציב בפרבולה עם הפרמטר m ונקבל:
m -1 < 0
תנאי ראשון : m < 1
נפתח תנאי שני:
9 - m + 1 - m - 4 > 0
2m < 6
תנאי שני: m < 3
החיתוך של תנאי 1 ו- 2 הוא m <1.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה