בעיה מקבילית וחפיפת משולשים

שאלה

המרובע ABCD הוא מקבילית. על הצלעות AD ו- DC בנו ריבועים ADKL ו- DEFC.
א. הוכח BF = BK.
ב. הוכח BF מאונך ל- BL.

פתרון

סעיף א: הוכח BF=BL

חפיפת משולשים ALB ו- BCF

BC=AD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
AD=AL צלעות בריבוע ADKL

מכאן נובע: BC=AL - זהות 1

AB=CD צלעות נגדיות במקבילית ABCD שוות
CD=CF צלעות של ריבוע CDEF שוות

מכאן נובע AB=CF - זהות 2

זוית BCD = זוית BAD - זויות נגדיות במקבילית ABCD שוות
זוית DCF = זוית DAL = 90 מעלות - זויות בריבועים ישרות

מכאן נובע: זוית BCF = זוית BAL - סכום של זויות שוות זהה - זהות 3

מזהויות 1, 2, 3 נובע שמשולשים BCF ו- BAL חופפים - זהות 4

מהחפיפה נובע: BF=BL - מה שנדרש להוכיח בסעיף 1


סעיף 2 - הוכח ש- BF מאונך ל- BL