פתרון שאלה 3 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - הסתברות

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016

 שאלה 3

שחר קנה קופסה שיש בה כדורי טניס בשני צבעים : 4 כדורים צהובים ו- 6 כדורים ירוקים .
שחר הוציא מן הקופסה באקראי 3 כדורים זה אחר זה (ללא החזרה) .
א . (1) מהי ההסתברות ששחר הוציא 3 כדורים צהובים ?
(2) מהי ההסתברות ששחר הוציא 3 כדורים באותו צבע ?

ב . דנה קנתה 3 קופסאות של כדורי טניס . כל אחת מן הקופסאות שקנתה זהה לקופסה שקנה שחר .
דנה הוציאה באקראי כדור אחד מכל אחת מן הקופסאות .
(1) מהי ההסתברות שדנה הוציאה 3 כדורים צהובים ?
2 ) מהי ההסתברות שדנה הוציאה לפחות כדור אחד ירוק ?

פתרון שאלה 3

 א.
 1. הסתברות להוציא 3 כדורים צהובים:
ההסתברות להוצאת 3 כדורים צהובים זה אחר זה היא מכפלת ההסתברויות להוציאת כל פעם כדור צהוב.
בתחילה יש בקופסא 4 כדורים צהובים ו- 6 כדורים ירוקים, לכן ההסתברות להוציא כדור צהוב היא 4/10.
לאחר הוצאת כדור צהוב יש בקופסא  3 כדורים צהובים ו- 6 כדורים ירוקים, לכן ההסתברות להוציא כדור צהוב היא 3/9 .
לאחר הוצאת שני כדורים צהובים יש בקופסא  2 כדורים צהובים ו- 6 כדורים ירוקים, לכן ההסתברות להוציא כדור צהוב היא 2/8.
ההסברות להוציא 3 כדורים צהובים היא: (4/10) * (3/9) * (2/8) = 24/720 = 1/30

2.ההסתברות להוציא 3 כדורים באותו צבע היא ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים או 3 כדורים ירוקים, זהו סכום ההסתברות להוצאת 3 כדורים ירוקים וההסתברות להוצאת 3 כדורים צהובים.
ההסתברות להוצאת 3 כדורים צהובים חושבה בסעיף א : 1/30
באותו אופן נחשב ההסתברות להוצאת 3 כדורים ירוקים: (6/10) * (5/9) * (4/8) = 120/720 = 1/6
ההסתברות להוציא 3 כדורים באותו צבע: 1/6 + 1/30 = 1/5

ב.
1. ההסתברות להוצאת 3 כדורים צהובים היא מכפלת ההסתברויות להוציא כל פעם כדור צהוב:
 (4/10) * (4/10) * (4/10) = 0.064

2. ההסתברות להוציא כדור ירוק אחד היא ההסתברות לא להוציא 3 כדורים צהובים, זוהי הקבוצה המשלימה לקבוצה הוצאת 3 כדורים צהובים, כלומר ההסתברות היא:  0.064 - 1 =  0.936
 

פתרון שאלה 2 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - גיאומטריה אנליטית

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016


שאלה 2פתרון שאלה 2 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - גיאומטריה אנליטית
פתרון שאלה 2

א. אלכסוני הריבוע מאונכים זה לזה לכן שיפוע אלכסון AC הופכי ונגדי לשיפוע אלכסון BD. שיפוע אלכסון BD הוא 1/3- ולכן שיפוע AC הוא m = 3.
 בנוסף נתון כי AC עובר דרך נקודה A ששיעורה (5, 5). 
משוואת הישר בעל שיפוע m העובר דרך נקודה     היא: 

משוואת AC:
 y - 5 = 3(x - 5)
y - 5 = 3x - 15
y = 3x - 10

ב. כדי למצוא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע נדרש לנו שיעור מרכזו M, ורדיוסו R= MA.
נקודה M היא נקודת חיתוך האלכסונים AC, BD כלומר פתרון המשוואות:
y = -(1/3)x
y = 3x - 10
נפתור:


 שיעור הנקודה M (3, -1)

משוואת המעגל החוסם
רדיוס המעגל R החוסם הוא המרחק בין הנקודה M (3, -1) לנקודה A (5,5)
למשוואת המגל נדרש לנו ריבוע הרדיוס, נחשב:


 יש לנו שיעור מרכז המעגל M (3, -1),  וריבוע רדיוס המעגל , לכן משוואת המעגל:

 ---

ג. אורך צלע הריבוע
חישבנו את מחצית אלכסון הריבוע  , כלומר אורך אלכסון הריבוע:
לפי משפט נחשב את a אורך צלע הריבוע:


ד. רדיוס המעגל החסום שווה למחצית  צלע הריבוע


פתרון שאלה 1 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016 - בעיית מהירות

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 4 יחידות קיץ 2016

שאלה 1
שאלה 1 - בגרות מתמטיקה 4 יחידות - בעיית מהירות


פתרון שאלה 1

נכתוב את סיפור הרכיבה של יואב בצורה טבלאית:

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:


נפתור את המשוואות:


קיבלנו מהירות הרכיבה מ- A ל- B  היא 20 קמ"ש, והמרחק בין A ל- B הוא 80 ק"מ.

פתרון שאלה 5 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 - גיאומטריה וטריגונומטריה

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 5 יחידות חורף 2016

שאלה מספר 5


פתרון שאלה 5

א. מציאת זוית

 1: נקודה E היא מפגש חוצי הזויות לכן זויות EBC, ECB שוות, ולכן EC = EB.


נתבונן במשולש BDE נמצא את הזויות בו ונפעיל משפט סינוסים.
2:      - BE חוצה זוית ABC השווה ל- - נתון
3:    - זוית חיצונית למשולש EBC שווה לסכום שתי הזויות EBC, ECB שאינן צמודות לה.

4:    - נובע מ- 2,3 ומהמשפט שסכום זויות במשולש הוא 180 מעלות.


נפעיל משפט סינוסים במשולש BDE


נפתח ונקבל



נציב EC = BE השוויון שהוכחנו ב- 1
ונקבל:


אך נתון:

לכן:



קיבלנו משוואה טריגונומטרית פונקציית סינוס, נפתור:



קיבלנו אינסוף פתרונות, אולם האילוץ כי סכום זויות במשולש ABC הוא 180 מעלות וזוית A קהה (נתון) מוביל אל הפתרון:


ב. מציאת היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום
נסמן R רדיוס המעגל החוסם משולש ABC, ו- r רדיוס המעגל החסום.
נתבונן במשולשים BEO, ABC
בניית עזר - הורדת אנך מנקודה E לצלע BC בנקודה O
ע"פ משפט הסינוסים היחס בין צלע במשולש לסינוס הזוית מולה שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם.
לכן במשולש ABC:




מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזויות כלומר נקודה E היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. רדיוס המעגל החסום r הוא:
5:

נמצא הקשר בין BE ל- BC.
נקודה O היא אמצע BC לכן: 
נציב את BE במשוואה 5 ונקבל:


היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:



ג. מציאת אורך הקטע AE
היחס בין רדיוס מעגל חוסם משולש ABC לרדיוס מעגל חסום:


נתון בסעיף ג כי: R-r=2
נחשב את רדיוס המעגל החוסם ומכאן נוכל לחשב כל גודל במשולש.
 

נחשב את CO:


נחשב את AO:
במשולש AOB מתקיים:


מצאנו את AO ויש לנו את EO (רדיוס המעגל החסום) נוכל לחשב את AE. AE ו- EO על אותו קטע AO הואיל ו- AO הוא חוצה זוית A ומאונך לבסיס במשולש שווה שוקיים כמו EO.

AE = AO - CO = 2.1355 - 0.926 = 1.21

פתרון שאלה 3 - בגרות מתמטיקה 5 יח' - חורף 2016 - בעית הסתברות

מתוך מבחן בגרות מתמטיקה 5 יחידות חורף 2016

שאלה מספר 3

במכונת מזל אפשר לזכות ב- 50 שקל, ב- 100 שקל או לא לזכות בכלל.
דן משחק 5 משחקים במכונה זאת.
ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות שהוא יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת.
(ההסתברות לזכות ב- 50 שקל שונה מאפס).
ההסתברות שדן לא יזכה באף משחק היא 1/32.
א. מהי ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל במשחק בודד?
ב. מהי ההסתברות שדן יזכה ב- 100 שקל במשחק בודד?
ג. ידוע כי לאחר שדן שיחק שני משחקים הוא זכה סך הכל ב- 100 שקל בדיוק.
מהי ההסתברות שהוא לא זכה ב- 50 שקל באף אחד משני המשחקים?


פתרון

א. נסמן ב- p הסתברות שדן לא יזכה בכלל במשחק אחד.
ההסתברות שדן לא יזכה בכלל ב- 5 משחקים היא p^5
לכן:
p^5 = 1/32
p=1/2
נסמן ב- q ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל במשחק בודד. וב- r ההסתברות שדן יזכה ב- 100 שקל במשחק בודד.
נשתמש גם באותיות p, q, r להצגת תותאות המשחק
ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת
  התוצאות האפשריות הן אלו: qpppp, pqppp, ppqpp, pppqp, ppppq
לכן ההסתברות:




ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים.
התוצאות האפשריות הן אלו: qqppp, qpqpp, qppqp, qpppq, ppppq, pqqpp, pqpqp, pqppq, ppqqp, ppqpq
 

ע"פ השאלה ההסתברות שדן יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות שהוא יזכה ב- 50 שקל בדיוק פעם אחת, לכן:

 
נפתח ונקבל:
 


אך ידוע לנו כפי שחישבנו לעיל: p = 1/2
לכן q = 1/4 בנוסף, סכום הסתברויות התוצאות בכל הגרלה הוא אחד, לכן: p+q+r = 1
נציב p=1/2 ן- q=1/4 ונקבל r=1/4

לכן ההסתברות שדן יזכה במשחק בודד ב- 50 שקל היא 1/4 .
ההסתברות שדן יזכה במשחק בודד ב- 100 שקל היא 1/4 .

ג. התוצאות בשני המשחקים היו זכיה ב- 100 שקל באחד, וזכיה בכלום בשני.
כלומר שתי התוצאות: pr , rp
ההסתברות לכך היא:
p*r +r*p = 1/4

זהויות טריגונומטריות - טנגנס וקוטנגנס סכום שתי זויות

קימות ארבע זהויות טריגונומטריות -לסכום שתי זויות

 
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)


בפרק זה נוכיח משוואות טנגנס וקוטנגנס סכום שתי זויות


 טנגנס סכום שתי זויות

נוכיח את הנוסחה:
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)


הוכחה
להוכחת הנוסחה לחישוב טנגס של חיבור שתי זוויות נשתמש בנוסחת חלוקת הסינוס בקוסינוס:
 tanα = sinα / cosα

נשתמש גם בזהויות משוואת קוסינוס של סכום שתי זויות ומשוואת סינוס סכום שתי זויות שהוכחנו.


tan(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)
tan(α + β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ – sinα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosα,


tan(α + β) = (tanα cosβ + sinβ) / (cosβ – tanα sinβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cosβ,

tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)


קוטנגנס סכום שתי זויות

נוכיח
 cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)

הוכחה
את הנוסחה לחישוב קוטנגס של חיבור שתי זוויות נקבל על-ידי הפיכת פונקצית הטנגס,

(נזכיר ש- cotα = 1 / tanα)


tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)
cot(α + β) = (1 – tanα tanβ) / (tanα + tanβ)
cot(α + β) = (1 – 1/(cotα cotβ)) / (1/cotα + 1/cotβ)

נחלק את המונה ואת המכנה של השבר שבאגף הימני ב- cotα cotβ,


cot(α + β) = (cotα cotβ – 1) / (cotα + cotβ)