בעיות בסיסיות בהסתברות - מרחב מדגם ומשתנים אקראיים

שאלה 1

יוצרים מילה בת 2 אותיות לא בהכרח בת משמעות מהאותיות E, F, G.
א. מהו מרחב המדגם
ב. רשום את המקרים למאורע:
A - במילה נמצאת האות E
B - במילה האותיות שונות
ג. רשום את המקרים למאורע (A משלים).

פתרון שאלה 1:

א. מרחב המדגם מסומן באות   והוא כל המילים האפשריות המורכבות משתי אותיות מתוך שלש האותיות E, F, G. המשתנה האקראי הוא התוצאות האפשריות במרחב המדגם.



ב. מקרה A - במילה נמצאת האות E:


ב. מקרה B - במילה האותיות שונות:


ג. מאורע הוא המקרים של מופעי שתי אותיות שנמצאות במרחב המדגם אך אינן מופיעות במאורע A, אלו הם המקרים בהן האות E אינה מופיעה:



שאלה 2 - הטלת זוג קוביות

מטילים זוג קוביות.
א. רשום את מרחב המדגם של הניסוי. האם המרחב מדגם הוא אחיד?
ב. רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים:
מאורע A: סכום התוצאות 7
מאורע B: מכפלת התוצאות 12

פתרון שאלה 2

נסמן לדוגמא מאורע כאשר תוצאה בקוביה אחת 2 ובקוביה שניה 5 כך: (2,5)

א. מרחב המדגם של הניסוי (כל התוצאות האפשריות):
(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)
(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)
(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)
(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)
(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)
(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)

ההסתברות הנה אחידה (מרחב מדגם אחיד) משום שמספר התוצאות האפשריות סופי וההסתברות לכל תוצאה היא זהה (שווה ל- 1/36). לדוגמא ההסתברות לתוצאה (1,3) (בקוביה אחת תוצאה 1 ובקוביה שניה תוצאה 3) היא 1/36.

ב.










תכונות הסתברויות אירועים פונקציית התפלגות - משפט 1

פונקציית התפלגות m היא ערך ממשי כלשהו המתייחס לתוצאות אקראיות w של ניסוי כלשהו.
מסמנים את תחום כל התוצאות האקראיות באות היוונית אומגה , ותוצאה אקראית כלשהי ב- w.
ע"פ הגדרת פונקציית ההתפלגות ערכה גדול מ- 0 וסכום כל ערכיה המתייחסים לתוצאות הניסוי שווה 1.
כלומר:


 






מפונקציית ההתפלגות אנו מגדירים את ההסתברות P כסכום ערכי פונקציית ההתפלגות המתקבלים עבור תת קבוצה E של מרחב :




תכונות פונקציית ההתפלגות:

משפט 1: ההסתברויות של אירועים על ידי פונקציית התפלגות על מרחב המדגם הם בעלי המאפיינים הבאים:

 1.    עבור כל


 2.

 3.   אם אז:

4. אם A ו- B תת קבוצות זרות של אז:






 5. עבור כל   מתקיים:






חוק גאוס

חוק גאוס הוא אלטרנטיבה חוק קולון. חוק גאוס מספק דרך אחרת להביע את היחסים בין מטען חשמלי  לשדה החשמלי. חוק גאוס גובש על-ידי קרל פרידריך גאוס (1777-1855), אחד מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים.

חוק גאוס קובע כי השטף החשמלי הכולל דרך משטח סגור (משטח הכולא בתוכו נפח) פרופורציונאלי למטען החשמלי הכלוא בתוך המשטח. מקדם היחס הוא


שטף השדה החשמלי הכולל דרך משטח הוא סכום מכפלת רכיבי השדה החשמלי המאונכים למשטח (כתוצאה מהמטען הכלוא במשטח) ברכיבי המשטח המתאימים.


לדוגמא מטען כלוא במרכז כדור.

בכל נקודה על משטח הכדור גודל השדה החשמלי עקב המטען q הוא:


סכום מכפלת רכיבי השדה החשמלי המאונך למשטח הכדור ברכיבי השטח הוא השטף, והוא שווה למטען q הכלוא במשטח לחלק ב-:


כאשר מדובר במשטח סגור בעל צורה כלשהי אפשר להכליל את חוק גאוס:  




משטח A בעל צורה כלשהי ומטען q כלוא בתוכו
משטח A בעל צורה כלשהי ומטען q כלוא בתוכו




















דוגמא:

נתון תייל ישר אינסופי בעל צפיפות מטען חשמלי ליחידת אורך. מצא את השדה החשמלי E סביב התייל.

פתרון


בוחרים משטח גאוס גלילי באורך l ורדיוס r סביב התייל ע"פ הסקיצה לעיל. שטף השדה החשמלי הנוצר על המשטח כתוצאה מהתייל הטעון, מאונך למשטח ושווה על כל מקודה על המשטח משיקולי סימטריה.
ע"פ משפט גאוס:

 




במקרה שלפנינו השדה E אחיד על הגליל בעל מעטפת A לכן השטף הוא EA . השטף בבסיסי הגליל שווה 0 מאחר והשדה המאונך לבסיסים הוא 0. מעטפת הגליל A שווה ל:
המטען q הכלוא במשטח הגאוס הוא הכפלת הצפיפות באורך l : 

לכן:









משיכת שתי מסות מחוברות בחבל על משטח אופקי

שאלה
שני ארגזים מחוברים עם חבל מונחים על משטח. מסת הארגז A היא ומסת הארגז B היא . מקדם החיכוך הדינמי בין הארגזים למשטח הוא . הארגזים נמשכים ימינה בעזרת כח F במהירות קבועה.
חשב בעזרת הביטויים   את:
א. גודל הכוח F
ב. המתיחות T של החבל המחבר את שני הארגזים.
משיכת שתי מסות על משטח אופקי מחוברות בחבל


פתרון

הארגזים נעים במהירות קבועה לכן סכום הכוחות הפועלים על כל ארגז שווה 0.

דיאגרמת גוף חופשי ארגז B
דיאגרמת גוף חופשי ארגז B
נשרטט דיאגרמת גוף חופשי של ארגז B:
מאחר וארגז B נע במהירות קבועה סכום הכוחות הפועלים עליו בכל כיוון של הצירים שווה 0, בנוסף כיוון התנועה של ארגז B הוא ימינה לכן כוח החיכוך על הארגז פועל שמאלה (כוח חיכוך פועל נגד כיוון התנועה).
לכן:


מכאן ניתן לחשב את המתיחות T בחבל המחבר את שני הארגזים:

וזהו פתרון סעיף ב.


דיאגרמת גוף חופשי ארגז A
דיאגרמת גוף חופשי ארגז A
דיאגרמת גוף חופשי ארגז A:
מאחר וארגז A נע במהירות קבועה סכום הכוחות הפועלים עליו בכל כיוון של הצירים שווה 0, בנוסף כיוון התנועה של ארגז A הוא ימינה לכן כוח החיכוך על הארגז פועל שמאלה (כוח חיכוך פועל נגד כיוון התנועה).
לכן:


המתיחות T בחבל המחבר שני הארגזים חושבה לעיל:

מכאן ניתן לחשב את ערכו של הכוח F המושך את הארגזים:

וזהו פתרון סעיף א.

משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות. צלעות אלו מכונות שוקיים. הצלע הנוספת היא בסיס. הקודקוד שבו שתי השוקיים נפגשות נקרא קודקוד המשולש, והזוית הנוצרת בין השוקיים נקראת זוית הקודקוד. שתי הזויות הנוספות הן זויות הבסיס.

לדוגמא במשולש שווה שוקיים להלן ABC שבו AB = BC נאמר כי:
A הוא קודקוד המשולש
זוית A היא זוית קודקוד (המשולש)
הצלעות AB, AC הן שוקיים
BC הוא בסיס
זויות B, C הן זויות הבסיס.
משולש שווה שוקיים ABC
משולש שווה שוקיים ABC

תכונות משולש שווה שוקיים
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים.

חוצה זוית הראש במשולש שווה שוקיים מחלק את המשולש לשני משולשים חופפיםבמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה לבסיס, וחוצה את הבסיס (תיכון).
מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.
במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים.
אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות